Anomale Korrelation

Scientific Reports Band 13, Artikelnummer: 9470 (2023) Diesen Artikel zitieren

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Die Nichtanalytizität des Loschmidt-Echos zu kritischen Zeiten in quantenausgelöschten Systemen wird als dynamischer Quantenphasenübergang bezeichnet und erweitert den Begriff der Quantenkritikalität auf ein Nichtgleichgewichtsszenario. In dieser Arbeit etablieren wir ein neues Paradigma dynamischer Phasenübergänge, die durch eine plötzliche Änderung der internen räumlichen Korrelationen des Störungspotentials in einem niedrigdimensionalen ungeordneten System angetrieben werden. Die Löschdynamik zwischen vorgelöschtem reinem und nachgelöschtem Zufallssystem-Hamiltonian zeigt einen anomalen dynamischen Quantenphasenübergang, der durch eine unendliche Störungskorrelation im Modulationspotential ausgelöst wird. Der physikalische Ursprung des anomalen Phänomens hängt mit der Überlappung zwischen den beiden deutlich unterschiedlichen erweiterten Zuständen zusammen. Darüber hinaus untersuchen wir die Löschdynamik zwischen dem vorgelöschten Zufalls- und dem nachgelöschten Hamilton-Operator des reinen Systems. Interessanterweise durchläuft das gelöschte System im thermodynamischen Grenzfall dynamische Quantenphasenübergänge für das Vorlöschpotential des weißen Rauschens. Darüber hinaus zeigt die Quenchdynamik auch eine klare Signatur des Delokalisierungsphasenübergangs im korrelierten Anderson-Modell.

Quantenphasenübergänge im Nichtgleichgewicht sind zu einem Thema von lebhaftem Interesse auf dem Gebiet der Physik der kondensierten Materie geworden1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16 ,17,18. Bemerkenswerterweise werden die Nichtgleichgewichtsphasenübergänge durch die fortschreitende Zeit angetrieben, was einen neuen Rahmen für die Erforschung des dynamischen Verhaltens sich zeitlich entwickelnder Quantensysteme bietet13,14,19,20,21,22. Tatsächlich wurden die Konzepte der Quantenkritikalität im Nichtgleichgewichtszustand elegant auf die dynamischen Quantenphasenübergänge (DQPTs) abgebildet, wobei die Singularitäten des Loschmidt-Echos die DQPTs quantenausgelöschter Systeme identifizieren23,24,25. Das Loschmidt-Echo ist ein Maß für die Überlappung zwischen den Referenz- und zeitentwickelten Quantenzuständen, das sowohl theoretisch als auch ausführlich untersucht wurde7,8,9,10,11,12,13,14,19,20,21,22,23 ,24,25 und experimentell2,3,26,27. Ein paradigmatisches Modell, das DQPTs zeigt, ist das Aubry-André-Modell nach einer Löschung der Stärke eines inkommensurablen Potenzials23,25. Darüber hinaus wurde auch die Nichtgleichgewichtsdynamik des Anderson-Modells nach einem Abklingen der Störungsstärke untersucht24. Das Konzept der dynamischen Phasenübergänge kann auch durch das Verschränkungsecho28,29,30 (die Überlappung der anfänglichen und seiner zeitlich weiterentwickelten Verschränkungs-Hamilton-Grundzustände) der in größere Quantensysteme eingebetteten Subsysteme charakterisiert werden. Darüber hinaus können die DQPTs untersucht werden, indem der Nichtgleichgewichtsordnungsparameter im Lipkin-Meshkov-Glick-Modell mit einem gelöschten Transversalfeld gemessen wird.

Die Anderson-Lokalisierung ist ein Quantenphasenübergang, der unter bestimmten Bedingungen durch die Stärke der unkorrelierten Störung gesteuert wird, wie in der bahnbrechenden Arbeit von Anderson32 dargelegt. Im Kontext der engen Bindung sind alle Eigenzustände in nichtwechselwirkenden niedrigdimensionalen Systemen durch einen verschwindend geringen Grad an Unordnung im thermodynamischen Grenzfall lokalisiert,33 wohingegen ein dreidimensionales System einen Metall-Isolator-Übergang bei kritischer Unordnungsstärke mit einer erweiterten Mobilitätskantentrennung zeigt und lokalisierte Staaten34,35,36,37,38.

Es ist bekannt, dass Korrelationen im Störungspotential den Quantenphasenübergang im nichtwechselwirkenden niedrigdimensionalen korrelierten ungeordneten System auslösen39,40,41,42,43,44. Bemerkenswerterweise zeigt das korrelierte Anderson-Modell den Metall-Isolator-Übergang beim kritischen Korrelationsexponenten \(\alpha =2\) mit einer Mobilitätskante, die erweiterte und lokalisierte Zustände abgrenzt39. Der Übergang wurde auf der Grundlage starker Antikorrelationen des ungeordneten Potentials im thermodynamischen Grenzfall bestätigt40. Im Hinblick auf den Phasenübergang zeigten Pires et al.41, dass der Delokalisierungsphasenübergang bei \(\alpha \sim 1\) ohne Mobilitätskante im Störungsregime auftreten kann. Es wurde festgestellt, dass die Lokalisierungslänge im Grenzfall \(\alpha \rightarrow 1\) im thermodynamischen Grenzfall um \((1-\alpha )^{-1}\) divergiert, was durch die analytischen Störungsberechnungen bestätigt wurde41,42.

Der dynamische Phasenübergang ist ein quantenkritisches Phänomen in Nichtgleichgewichtsumgebungen, das durch die dynamischen Eigenschaften quantengelöschter Systeme gekennzeichnet ist. In diesem Artikel formulieren wir eine instationäre dynamische Entwicklung nichtwechselwirkender Fermionen mit diagonal korrelierten Zufallsenergien. Die Quantenlöschdynamik ist durch plötzliche Änderungen der internen Korrelationen des Störungspotentials gekennzeichnet. Eine schematische Darstellung des Quantenlöschprozesses für zwei Grenzfälle, d. h. Löschprozesse zwischen Zuständen mit (i) \(\alpha _{i}=\infty\) (delokalisiert), \(\alpha _{f}=0\) , (lokalisiert) und (ii) \(\alpha _{i}=0\) (lokalisiert), \(\alpha _{f}=\infty\) (delokalisiert), ist in Abb. 1 dargestellt. Wir Erhalten Sie ein universelles Merkmal des Loschmidt-Echos für einen ursprünglich vorbereiteten reinen und stark korrelierten zeitlich sich entwickelnden Zustand. In diesem Szenario wird das Loschmidt-Echo in kritischen Zeiten nichtanalytisch anomal, was auf korrelationsinduzierte DQPTs hinweist. Herkömmlicherweise ist die Loschmidt-Amplitude jedoch immer eine für einen anfänglich grundständigen und zeitlich weiterentwickelten erweiterten Zustand. Andererseits erweist sich das Loschmidt-Echo für einen zunächst vorbereiteten lokalisierten und den sich zeitlich entwickelnden reinen Zustand als größenabhängig. Wir beobachten außerdem den Delokalisierungsübergang im korrelierten Anderson-Modell aus der Perspektive des Loschmidt-Echos.

Der Aufbau des Papiers ist wie folgt. Im Abschnitt „Das korrelierte Anderson-Modell“ wird das Tight-Binding-Modell mit dem Effekt diagonaler Zufallsenergien erörtert. Die Zufälligkeit des Störungspotentials wird als weitreichende korrelierte Störung unter der Potenzgesetz-Spektraldichte demonstriert. Der Abschnitt „Das Loschmidt-Echo“ konzentriert sich auf die Eigenschaften des Loschmidt-Echos im Störungsbereich für verschiedene Korrelationsexponenten. Wir diskutieren die dynamischen Signaturen des Quantenphasenübergangs, der durch die Nullstellen des Loschmidt-Echos in kritischen Zeiten gekennzeichnet ist. Der letzte Abschnitt fasst unsere Schlussfolgerungen zusammen.

Hier besteht unser Modell aus nichtwechselwirkenden spinlosen Elektronen in einem ungeordneten Potential mit weitreichenden räumlichen Korrelationen. Der Hamiltonoperator unseres Modells hat die allgemeine Form39,45,46,

wobei t die Übertragungsenergie (Sprungintegrale) zwischen den nächsten benachbarten Standorten bezeichnet. Der Einfachheit halber werden \(t=1,\) und alle anderen Energieskalen in der Einheit t gemessen. Im zweiten Term des Hamilton-Operators stellt \(\varepsilon _{n}(\alpha)\) die diagonale Zufallsenergie eines Elektrons am n-ten Platz des Gitters der Größe N dar. Die Zufälligkeit im Potential wird wie folgt demonstriert: eine weitreichende räumlich korrelierte Störung unter der Spektraldichte, \(S(k)\sim k^{-\alpha },\), wobei \(\alpha\) die Stärke der Korrelation der Spektraldichte ist, die die Rauheit von steuert die möglichen Landschaften. Die ungeordnete Potentialamplitude \(\varepsilon _{n}(\alpha )\) ist gegeben durch39,40,41,42,45,47,

wobei \(\mathscr {A}_{\alpha }\) eine Normalisierungskonstante ist, die eine Einheitsvarianz des lokalen Potentials \((\sigma _{\varepsilon }^{2} = 1)\) mit einem Mittelwert von Null vorgibt, und \(\phi _{k}\) sind die N/2 unabhängigen Zufallsphasen, die gleichmäßig im Intervall [\(0,\,2\pi ]\) verteilt sind. Es ist sehr wichtig zu betonen, dass die Störungsverteilung die folgende Sinusform der Wellenlänge N mit verschwindendem Rauschen annimmt:

(Farbe online) Eine schematische Darstellung des Quantenlöschprozesses unter dem korrelierten Anderson-Modell. Die Parameter \(\alpha _{i}\) und \(\alpha _{f}\) steuern die Stärke des Prequench- bzw. Postquench-Modulationspotentials. Hier zeigen wir zwei Extremfälle der Löschdynamik (fette blaue Pfeile), nämlich \(\alpha _{i}=\infty (0)\) und \(\alpha _{f}=0 (\infty)) \). Ein abruptes Löschen der Systemvariablen löst einen dynamischen Phasenübergang in einem Gitter mit N-Stellen aus. Die schwarze gestrichelte Linie markiert die Prequench- und Postquench-Regime.

im Grenzfall unendlicher Korrelation des Störungspotentials. Das ungeordnete Potential ist ein statisches Kosinuspotential mit einer zufälligen Phase, und sein lokaler Wert wird von einem einzelnen Term dominiert, \(k=1\). Infolgedessen weist das System mangels wirksamer Störung metallisches Verhalten auf. In diesem Grenzfall zeigt die Spektralfunktion des korrelierten Anderson-Modells ein identisches Verhalten wie die Zustandsdichte im realen Raum45. Im Grenzfall \(\alpha =0\) ist das System isolierender Natur, wobei alle Eigenzustände lokalisiert sind. Für ein endliches System kann die normalisierte Korrelationsfunktion \(\mathscr {C}_{N}(\alpha ,r),\) des ungeordneten Potentials wie folgt formuliert werden40,41,

Im thermodynamischen Grenzfall ist die Korrelationsfunktion linear für \(\alpha =2\), konvex für \(\alpha >2\) und konkav für \(1< \alpha <2\), nahe \(\gamma \sim 0\), wohingegen es für \(\alpha >1\) in der Nähe von \(\gamma \simeq 1\) negativ wird, wobei \(\gamma =2r/N\) der dimensionslose Gitterabstand mit \(\gamma \in [0,\,1]\)40. Andererseits weist die normalisierte Zweipunktkorrelationsfunktion von \(\varepsilon _{n}\) äußerst bemerkenswerte Eigenschaften für \(\alpha \lesssim 1\) auf. Der Korrelator ist im thermodynamischen Grenzfall stationär, gegeben durch

wobei \(_{1}F_{2}(x)\) eine hypergeometrische Funktion ist. Sein asymptotisches Verhalten fällt über große Entfernungen zu \(r^{\alpha -1}\) ab:

Die thermodynamische Korrelationsfunktion als Funktion des Abstands r für verschiedene \(\alpha\) ist in Abb. 2 (linkes Feld) dargestellt. Es stellt sich heraus, dass die Korrelationsfunktion die Kronecker-Delta-Funktion ist, \(\mathscr {C}_{\infty }(\alpha =0,r)=\delta _{r,0}\), im Limes \( \alpha \rightarrow 0\), wodurch die übliche unkorrelierte Anderson-Störung wiederhergestellt wird. Die Korrelation nimmt mit dem Korrelationsexponenten zu und tendiert für \(\alpha \sim 1\) im thermodynamischen Grenzfall zu Eins, wie im rechten Teil von Abb. 2 dargestellt. Man kann jedoch deutlich eine sehr langsame Konvergenz der Korrelation bei \ erkennen. (r=1\) in Richtung des thermodynamischen Limits, insbesondere für \(\alpha \sim 1\). Intuitiv konvergieren die Korrelationsfunktionen bei \(r>1,\) gegen Eins für \(\alpha\)-Annäherungen an eins.

Ein Quantenlöschprozess ist eine abrupte Änderung des Hamiltonoperators \({\hat{\mathscr {H}}}(x)\) eines Systems, wobei x die Stärke des gelöschten Parameters bezeichnet. Zum Zeitpunkt \(\tau =0\) ist \(\left| \Psi (x)\right\rangle\) der ursprünglich vorbereitete Grundzustand des Systems mit der Normalisierungsbedingung \(\langle \Psi (x)|\ Psi (x)\rangle =1\). Der Hamiltonoperator \({\hat{\mathscr {H}}}(y)\) regelt die zeitliche Entwicklung des Systems für Zeiten \(\tau >0\) und erreicht den einheitlichen Entwicklungszustand23,24,25

Ein Loschmidt-Echo \(\mathscr {L}(x,y,\tau)\) ist die dynamische Version der Grundzustandstreue (Rückkehrwahrscheinlichkeit), definiert als 23,24,25,

Es ist ein Maß für die Überlappung zwischen einer anfänglichen Referenz und dem zeitlich entwickelten Zustand und spielt eine zentrale Rolle bei der Charakterisierung der DQPTs. Die Größe \(\langle \Psi (x)|\Psi (x,y,\tau )\rangle\) ist als Loschmidt-Amplitude \(\mathscr {G}(x,y,\tau )\) von bekannt das abgeschreckte System. Phänomenologisch lösen die Quantenlöschungen einen sich zeitlich entwickelnden Zustand \(\left| \Psi (x,y,\tau )\right\rangle\) unter dem Postquench-Hamiltonoperator \({\hat{\mathscr {H}}}( y)\) aus einem Referenzzustand \(\left| \Psi (x)\right\rangle\).

(Farbe online) Linkes Feld: Die zweipunktnormalisierte Korrelationsfunktion der lokalen Störung \(\varepsilon _{n}\) im thermodynamischen Limes. Die Korrelationsfunktion strebt im Grenzfall \(\alpha \sim 1\) gegen Eins. Rechtes Feld: Die Korrelationsfunktion als Funktion von \(\alpha\) für verschiedene Systemgrößen bei \(r=1\). Für endlich große Systemgrößen konvergieren die Korrelationen sehr langsam in Richtung des thermodynamischen Wertes im Grenzfall \(\alpha \sim 1\).

(Farbe online) Log-lineare Skala: Die zeitliche Entwicklung des Loschmidt-Echos für verschiedene gelöschte Modulationskorrelationsexponenten \(\alpha _{f}\) mit einem System der Größe \(N=512\). Der Anfangszustand ist als Grundzustand des vorgelöschten Hamilton-Operators mit einem Diagonalpotential von Null festgelegt. Die magentafarbene gestrichelte Kurve, die dem Analyseergebnis bei \(\alpha _{f}=\infty\) im thermodynamischen Grenzfall entspricht.

Wir konzentrieren uns nun auf die Löschdynamik des korrelierten ungeordneten Systems, wobei der Löschvorgang durch eine abrupte Änderung der Stärke räumlicher Korrelationen im diagonalen Zufallspotential gekennzeichnet ist. Zunächst wird das System in einem Zustand \(\left| \Psi (\alpha _{i})\right\rangle\) betrachtet, der der Eigenzustand des Hamilton-Operators \(\hat{\mathscr {H}}( \alpha _{i})\) der vorgelöschten Korrelationsstärke \(\alpha _{i}\) zum Zeitpunkt \(\tau =0\) und \(\left| \Psi (\alpha _{i},\ alpha _{f},\tau )\right\rangle\) sei der sich zeitlich entwickelnde Zustand nach Durchführung einer abrupten Löschdynamik zum Endzustand des Hamilton-Operators \(\hat{\mathscr {H}}(\alpha _{f })\). Das Loschmidt-Echo nimmt die modifizierte Form an als:

wobei \(\alpha _{f}\) die Stärke der Postquench-Modulationskorrelation zum Zeitpunkt \(\tau\) definiert.

Das Hauptaugenmerk liegt auf der Untersuchung der Löschdynamik unter einem korrelierten Modell in verschiedenen Regimen41,42. Im Fall von \((\varepsilon (\alpha _{i})=0),\) ist der anfängliche Eigenzustand des Prequench-Hamiltonoperators \(\hat{\mathscr {H}}(\alpha _{i})\ ) ist ein ebener Wellenzustand \(\left| \Psi (\alpha _{i})\right\rangle =\left| k\right\rangle\) mit Eigenenergie \(E_{k}=2t\cos ( ka)\), wobei a den Gitterabstand darstellt. Nach Anwendung eines plötzlichen Löschvorgangs in den internen Korrelationen des Störungspotentials kann die entsprechende Loschmidt-Amplitude ausgedrückt werden als:

wenn ein anfänglicher erweiterter Zustand in einen stark korrelierten Bereich \((\alpha _{f}=\infty )\) gelöscht wird. Dann werden alle Eigenzustände \(\left| \Psi _{m}(\alpha _{f})\right\rangle\) des Postquench-Hamiltonoperators mit Eigenenergie \(E_{m}=\sqrt{2}) delokalisiert. \cos \left( \frac{2\pi }{N}m+\phi _{1}\right)\). In diesem Szenario kann die Loschmidt-Amplitude wie folgt geändert werden:

Im Bereich großer Systemgrößen ist die Phase \(\varphi =(\frac{2\pi }{N}m+\phi _{1})\) zufällig zwischen \(-\pi\) und \( \Pi\). Daher können wir den Ausdruck Gl. umschreiben. (11) als:

wobei \(J_{0}(x_{s})\) die Bessel-Funktion erster Art nullter Ordnung ist, eine Reihe von Nullstellen \(x_{s}\) mit \(s\in \mathbb {N }\). Der analytische Ausdruck des Loschmidt-Echos ist gegeben durch:

Aus diesem Ausdruck geht klar hervor, dass das Loschmidt-Echo zu kritischen Zeiten \(\tau ^{*}=x_{s}/\sqrt{2}\) eine Reihe von Nullstellen mit s Satz positiver Wurzeln aufweist. Im kleinen s-Limit können die Wurzeln von \(J_{0}(x)\) näherungsweise mit der Stokes-Näherung berechnet werden48,

Das Auftreten von Nullen im Loschmidt-Echo weist auf Lokalisierungsübergänge hin, die als dynamische Phasenübergänge bezeichnet werden. Es ist erwähnenswert, dass sich die erweiterten zeitlich entwickelten Zustände des Postquench-Hamiltonoperators mit korrelierter Unordnung (unendlicher Korrelationsexponent) völlig von denen des herkömmlichen Eigenzustands (ebene Welle) des Prequench-Hamiltonoperators des reinen Systems unterscheiden. Infolgedessen verschwindet die Loschmidt-Amplitude – ein Skalarprodukt aus ebenen Wellen und ausgedehnten zeitlich entwickelten Zuständen – zu kritischen Zeiten, was auf dynamische Phasenübergänge hinweist.

(Farbe online) Der komplexe zeitentwickelte Zustand \(\psi _{c}\) des Postquench-Hamiltonoperators mit Modulationskorrelationsexponent \(\alpha _{f}\sim \infty\) für das Größensystem \ (N=256\) (schwarze Kurve), \(N=512\) (blaue Kurve) und \(N=1024\) (rote Kurve) zum kritischen Zeitpunkt \(\tau ^{*}=3,9033\) . Die \(\psi _{c}(\tau ^{*})\)-Elemente bilden kreisförmige Kurven mit Mittelpunkt im Ursprung in der komplexen Ebene und \(r=0,063\) (schwarze Linie), \(r= 0,044\) (rote Linie) und \(r=0,032\) (blaue Linie) sind ihre entsprechenden Radien. Einschub: Der Radius derselben Daten als Funktion der Systemgrößen im Log-Log-Maßstab. Die Daten passen sehr gut zu einer Kurve, \(y=a + b/x\) (rote gestrichelte Kurve).

Abbildung 3 zeigt die zeitliche Entwicklung des Loschmidt-Echos, wenn ein anfänglicher reiner Grundzustand (\(\varepsilon (\alpha _{i})=0\)) in einen korrelierten ungeordneten Bereich gelöscht wird. Hier werden die numerischen Berechnungen für das Größensystem \(N=512\) durchgeführt und der Stichprobenmittelwert über 1024 Störungsrealisierungen ermittelt. Je größer jedoch \(\alpha _{f}\) ist, desto glatter wird das Zufallsprofil und damit das Loschmidt-Echo aufgrund des Fehlens der effektiven Störung. Wir zeigen, dass das Loschmidt-Echo für \(\alpha _{f}<1\) nach einem gewissen Zeitintervall für eine gegebene Realisierung des ungeordneten Potentials gegen Null tendiert. Wenn ein reiner Systemzustand in einen sich über die Zeit hinaus entwickelnden Zustand gelöscht wird, kann man typischerweise ein Einheits-Loschmidt-Echo erwarten, da sowohl der Prequench- als auch der Postquench-Zustand ebene Wellen sind. Im Gegensatz dazu weist das Loschmidt-Echo im Grenzfall \(\alpha _{f}\ approx \infty\) Singularitäten in der Zeitskala auf, was durch das im thermodynamischen Grenzfall erhaltene Analyseergebnis (magentafarbene gestrichelte Kurve) bestätigt wird. Dieser anomale singuläre Trend des Loschmidt-Echos charakterisiert die DQPTs im quantengelöschten System.

Um den Ursprung des anomalen dynamischen Phasenübergangs zu kennen, berechnen wir die Eigenzustände des zeitlich weiterentwickelten Zustands des Postquench-Hamiltonoperators mit unendlichem Modulationskorrelationsexponenten. Es ist offensichtlich, dass die Eigenzustände eines vollkommen reinen Kristalls translatorisch invariant sind und sich die Wahrscheinlichkeitsamplituden auf alle Gitterplätze erstrecken. Diese erweiterten Zustände werden durch ebene Wellen erklärt, die die entsprechenden Eigenzustände des Hamilton-Operators des Systems mit dem Energiespektrum \(E_{k}=2t\cos ka.\) sind. Diese Eigenzustände sind

wobei k den Wellenvektor bezeichnet, der in der ersten Brillouin-Zone mit \(k\in (-\frac{\pi }{a},\frac{\pi }{a}]\) liegt. In Abb. 4 haben wir manifestieren die Verteilung der komplexen zeitentwickelten Eigenzustandselemente für \(\alpha _{f}=1000\) mit verschiedenen Systemgrößen zur kritischen Zeit \(\tau ^{*}=x_{2}/\sqrt{2} =3,9033\). Bei unendlicher Unordnungskorrelation sind die Eigenzustände perfekt geordnet (erweitert), unterscheiden sich jedoch völlig von denen des konventionellen Eigenzustands. Der Mittelwert der ebenen Wellenelemente ist genau gleich \(\sqrt{N},\ ), wohingegen der Durchschnittswert der zeitlich entwickelten Zustandselemente gegen Null geht. Wichtig ist, dass das Gewicht des positiven und negativen Werts der komplexen Zustandselemente zu kritischen Zeiten ungefähr gleich ist, was zu einer verschwindenden Überlappung zwischen der ebenen Welle und ihrer zeitlich entwickelten Welle führt Zustand. Mit anderen Worten, die Loschmidt-Amplitude ergibt sich zu:

im Grenzfall einer unendlichen Postquench-Störungskorrelationsstärke. Hier ist \(\left| \psi _{c}(\tau ^{*})\right\rangle\) der zeitlich weiterentwickelte Zustand des Postquench-Hamiltonoperators mit diagonal korrelierter Unordnung zum kritischen Zeitpunkt. Im Einschub stellen wir die endliche Größenskalierung des zeitlich entwickelten Zustands zum kritischen Zeitpunkt vor. Es ist zu beachten, dass die Radien wie \(a+b/x\) (rote gestrichelte Linie) variieren und durch Anpassen der Daten ermittelt werden. Dies zeigt, dass die Radien der Kurve der zeitentwickelten Eigenzustandselemente im thermodynamischen Grenzfall gegen Null gehen.

Darüber hinaus ist die Löschdynamik unter dem korrelierten Aderson-Modell für verschiedene Systemgrößen in Abb. 5 dargestellt. Wir stellen fest, dass das Loschmidt-Echo mit zunehmender Systemgröße nach einem gewissen Zeitintervall für die Stärke endlicher Korrelationen abnimmt. Allerdings erwies sich das Loschmidt-Echo im starken Korrelationslimit als größenunabhängig. Es wird erwartet, dass dieses universelle Merkmal des Loschmidt-Echos gilt, solange \(\alpha _{f}\) groß genug ist. Darüber hinaus analysieren wir die Löschdynamik des Systems für endliche Postquench-Korrelationsexponenten, wie in Abb. 6 dargestellt. Im lokalisierten Bereich \(\alpha _{f} \lesssim 1\) zerfällt das Loschmidt-Echo als \(y= e^{-\ln {x}}\) mit Systemgrößen wie in Abb. 6a,b dargestellt. Für \(\alpha _{f}= 0\) erhalten wir jedoch eine deutliche Abweichung von der Kurve, was auf den nicht verschwindenden endlichen Wert des Loschmidt-Echos im thermodynamischen Limes hinweist, der sich aus der Verschiebung der Kurve mit zunehmender Größe ergibt, wie gezeigt in Abb. 5. Andererseits sinkt das Loschmidt-Echo bei \(\alpha _{f} = 2\) zunächst auf ein Minimum am kritischen Punkt \(\tau ^{*} = 3,9033\) und steigt dann auf an einen festen Punkt und nehmen mit der Zeit allmählich ab, wie in Abb. 5c dargestellt. Daher erreicht das Echo mit zunehmender Systemgröße eine Sättigung bis zu einem festen Punkt, wie in Abb. 6c dargestellt. Darüber hinaus wird das Loschmidt-Echo universell in der Korrelationsgrenze für starke Störungen, wie in Abb. 6d dargestellt.

(Farbe online) Log-lineare Skala: Die zeitliche Entwicklung des Loschmidt-Echos mit (a) \(\alpha _{f}=0\), (b) \(\alpha _{f}=0,5,\) (c) \(\alpha _{f}=2,\) und (d) \(\alpha _{f}=5\) für verschiedene Systemgrößen \(N=128,\,256,\,\, \text {and}\,\,512\) mit 2048 Erkenntnissen der Unordnung. Der Anfangszustand ist als Grundzustand des vorgelöschten Hamilton-Operators mit \(\varepsilon (\alpha _{i})=0\) festgelegt. Mit zunehmender Systemgröße nimmt die Entwicklung der Loschmidt-Echos nach einigen Zeitintervallen für \(\alpha _{f}<1\) monoton ab. Für \(\alpha _{f}>1\) zerfallen die Loschmidt-Echos entweder monoton oder periodisch auf Null.

(Farbe online) Log-Log-Skala: Die zeitliche Entwicklung des Loschmidt-Echos als Funktion der Systemgrößen mit 2048 Realisierungen der Störung der in Abb. 5 dargestellten Daten zu kritischen Zeiten \(\tau ^{*} = 3,9033, ~6.1191,\,\text{und}~8.3379\).

Wenden wir uns dem Fall zu, in dem ein ursprünglich vorbereiteter Grundzustand des Prequench-Hamiltonoperators mit diagonal korrelierter Unordnung in einen erweiterten zeitlich weiterentwickelten Zustand des Postquench-Hamiltonoperators mit \(\varepsilon (\alpha _{f})=0\) gelöscht wird. Im stark lokalisierten Bereich (\(\varepsilon (\alpha _{i})\rightarrow \infty\)) kann man analytisch die Entwicklung des Loschmidt-Echos erhalten, \(\mathscr {L}(\tau )=\left | J_{0}(2\tau )\right| ^{2}\) im thermodynamischen Grenzfall, was in hervorragender Übereinstimmung mit den in der Literatur berichteten Ergebnissen23,25 ist. Konstruktionsbedingt ist der Gesamtdurchschnitt der Energien vor Ort Null und die lokale Varianz – die Amplitude des Zufallspotentials – ist ortsunabhängig und gleich eins41. Abbildung 7 zeigt das Loschmidt-Echo für verschiedene Korrelationsexponenten des Prequench-Hamiltonoperators. Man kann einen oszillierenden Abfall der Loschmidt-Echos mit zunehmender Zeit beobachten, der sehr gut an die Skalierungsfunktion angepasst ist.

wobei \(a_{0}\), \(a_{1},...,a_{6}\) die Anpassungsparameter sind. Der erste Term in Gl. (17) ist zunächst dominant, wobei das Loschmidt-Echo für kurze Zeit exponentiell abklingt und dann nach einiger Zeit oszillierend abklingt.

Das Loschmidt-Echo reduziert sich zunächst auf einen Minimalwert und beginnt dann mit der Zeit oszillierend abzuklingen. Wichtig ist, dass für ein festes endliches System das Loschmidt-Echo mit den Korrelationen zunimmt und im Grenzfall \(\alpha_{i}\rightarrow \infty\) zu Eins tendiert, wo sich in der Unordnungskonfiguration eine übergreifende Sinusstruktur zu entwickeln beginnt. In diesem Fall zeigt das System keine Anzeichen eines dynamischen Phasenübergangs an.

Ein weiterer wichtiger Aspekt der Löschdynamik betrifft die Größenskalierung des Loschmidt-Echos des Systems. Es stellt sich heraus, dass es sich um eine exponentiell abfallende Funktion der Systemgröße für \(\alpha _{i}<1\) zu festen Entwicklungszeiten handelt, wie in Abb. 8 dargestellt. Intuitiv nähert sie sich nach einem bestimmten Zeitintervall im Bereich Null an der thermodynamischen Grenze. Am wichtigsten ist, dass das Loschmidt-Echo am Übergangspunkt \((\alpha _{i}\sim 1)\) größenunabhängig wird. Für \(\alpha _{i}>1\) scheint das Loschmidt-Echo jedoch exponentiell mit den Systemgrößen für \(\alpha _{i}>1\) zu wachsen und strebt im thermodynamischen Limes gegen Eins. Darüber hinaus sind die Loschmidt-Echos sehr gut angepasst durch:

wobei a und b positive reelle Konstanten sind. Ausdruck (18) zeigt, dass die Skalierungsfunktion für \(\alpha _{i}<1\) abfällt, für \(\alpha _{i}\sim 1,\) konstant bleibt und für \(\alpha _{ i}>1\), entsprechend dem lokalisierten, kritischen bzw. erweiterten Regime des Systems. Numerische Studien haben auf die Glättung der Störungsamplitude mit zunehmender Systemgröße hingewiesen40,49. Wir argumentieren jedoch, dass diese Glättung der potenziellen Landschaft für \(\alpha _{i}>1\) erfolgt. Im Gegenteil stellt man mit zunehmender Systemgröße das Anderson-Modell mit unkorrelierter Unordnung für \(\alpha _{i}<1\) wieder her. Wir halten diese Struktur für einen der Gründe für die Entstehung des Delokalisierungsübergangs im System. Darüber hinaus kann unter Verwendung der verallgemeinerten Thouless-Formel50 die Lokalisierungslänge \(\xi\) des korrelierten Anderson-Modells für \(\alpha \lesssim 1\) analytisch berechnet werden als41,42,

(Farbe online) Log-lineare Skala: Die zeitliche Entwicklung des Loschmidt-Echos für verschiedene Prequench-Korrelationsexponenten \(\alpha _{i}\) mit Systemgröße \(N=512\) und Stichprobe, gemittelt über 2048 Realisierungen von Störungen . Die Loschmidt-Echos sind nach Gl. gut angepasst (grüne strichpunktierte Kurven). (17) für endliche Korrelationen des Störungspotentials.

(Farbe online) Linear-Log-Skala: Skalierung des Loschmidt-Echos für verschiedene Prequench-Korrelationsexponenten \(\alpha _{i}\) zur kritischen Entwicklungszeit \(\tau ^{*}=1,20238\) (linkes Feld) und \(\tau ^{*}=2,76003\) (rechtes Feld) und Stichprobe gemittelt über 2048 Feststellungen der Störung. Als Anfangszustand wird der Grundzustand des Prequench-Hamiltonoperators mit korreliertem Potential festgelegt. Loschmidt-Echos sind nach Gl. gut angepasst (magentafarbene Kurven). (18) für endliche Korrelationen. Der statistische Fehler (Symbole mit Fehlerbalken) kann anhand der Standardabweichungen des Loschmidt-Echos bei den verschiedenen Systemgrößen abgeschätzt werden. Die numerischen Daten werden mithilfe der linear-logarithmischen Skala linearisiert.

im thermodynamischen Grenzwert bei Energie E. Dieses Ergebnis wurde numerisch verifiziert, indem die Lokalisierungslänge aus der Skalierung der Leitfähigkeit41 und der Kernel-Polynom-Methode42 berechnet wurde. Es ist offensichtlich, dass die Lokalisierungslänge für jeden beliebigen Wert der Bandenergie um \(\alpha \rightarrow 1\) divergiert, was auf die Existenz eines Delokalisierungsübergangs hinweist. Unsere Ergebnisse stützen die Idee, dass der Delokalisierungsübergang bei \(\alpha \sim 1\) im thermodynamischen Grenzwert stattfindet. Es stellt sich heraus, dass das Loschmidt-Echo auch als theoretische Technik zur Untersuchung des Delokalisierungsphasenübergangs im korrelierten Anderson-Modell eingesetzt werden kann.

Darüber hinaus untersuchen wir die Quantenlöschungsanalyse für das Szenario, in dem ein anfänglicher Grundzustand des korrelierten Störungssystems in einen zeitlich weiterentwickelten Zustand des Systems mit diagonal korreliertem Störungspotential gelöscht wird. Die Löschdynamik zwischen zwei unabhängigen Zufalls-Hamiltonoperatoren mit \(\alpha _{i}=0\) und \(\alpha _{f}=5\), die nach einiger Zeit zu einem oszillierenden Zerfall des Loschmidt-Echos führt as dargestellt in Abb. 9 (linkes Bild). Das Ergebnis weist eine bemerkenswerte Ähnlichkeit mit den in Abb. 7 dargestellten Daten auf, in denen ein Referenzzustand \((\alpha _{i}=0)\) in einen zeitlich weiterentwickelten erweiterten Zustand des Systems mit einem Diagonalpotential von Null \( (\varepsilon (\alpha _{f})=0)\). Tatsächlich würde man ähnliche Ergebnisse erwarten wie im zeitentwickelten Zustand, in dem beide Fälle erweitert werden. Allerdings kann es zu einer kleinen Abweichung des Loschmidt-Echos für ein endliches System kommen, wenn \(\alpha _{f}\) sich dem kritischen Bereich nähert. Im Einschub zeigen wir, dass das Loschmidt-Echo im thermodynamischen Grenzfall exponentiell auf Null abfällt. Für den Fall, dass \(\alpha _{i}=5\) und \(\alpha _{f}=0\), fällt das Loschmidt-Echo nach einem gewissen Zeitintervall monoton auf einen endlichen Wert ab, wie in Abb. 9 dargestellt (rechtes Feld). Das System zeigt jedoch DQPTs an, die durch den verschwindenden Wert des Loschmidt-Echos im thermodynamischen Grenzwert gekennzeichnet sind (Einschub). Darüber hinaus sind die günstigen Skalierungsmerkmale des Loschmidt-Echos von entscheidender Bedeutung, da sie es ermöglichen, die Natur des korrelierten Anderson-Modells vorherzusagen.

Typischerweise fällt das Loschmidt-Echo von eins ab und oszilliert nach einiger Zeit mit derselben Frequenz und Dämpfungsamplitude, wenn ein anfänglich ausgedehnter Zustand in einen stark lokalisierten Bereich gelöscht wird23,24,25. Die Löschdynamik unter dem korrelierten Anderson-Modell zeigt jedoch, dass das Loschmidt-Echo qualitativ ein ähnliches Abklingverhalten zu verschiedenen kritischen Zeiten zeigt, wenn der anfängliche erweiterte Zustand in einen stark korrelierten Bereich gelöscht wird.

(Farbe online) Die zeitliche Entwicklung des Loschmidt-Echos für \(\alpha _{i}=0\) und \(\alpha _{f}=5\) (linkes Feld) und \(\alpha _{i} =5\) und \(\alpha _{f}=0\) (rechtes Feld) mit Systemgröße \(N=512\), gemittelt über 2048 Stichproben. Einschübe: Endliche Größenskalierung der Loschmidt-Echos der entsprechenden festen kritischen Entwicklungszeit \(\tau ^{*}=4.3269\) (roter Punkt). Die Loschmidt-Echos werden durch eine exponentiell abklingende Funktion \(y=ae^{-bx},\) gut angepasst (magentafarbene gestrichelte Kurven), wobei a und b die Anpassungsparameter sind. Der statistische Fehler (Symbole mit Fehlerbalken) kann anhand der Standardabweichungen des Loschmidt-Echos bei den verschiedenen Systemgrößen abgeschätzt werden. Die Daten werden mithilfe der linear-logarithmischen Skala in Einschüben linearisiert.

Eine faszinierende Roadmap der Forschung ist die gegenseitige Wechselwirkung zwischen Korrelationen in den Sprungintegralen und den Energien vor Ort. Wie gezeigt, können Korrelationen im Störungspotential vor Ort die dynamischen Phasenübergänge abhängig vom korrelationssteuernden Parameter und dem Löschprozess auslösen. Eine interessante Fortsetzung unserer vorliegenden Arbeit wäre die Untersuchung dynamischer Phasenübergänge im Modell mit Potenzgesetz-Korrelation-Hopping-Integral.

Wir haben die Nichtgleichgewichtsdynamik des 1D-nichtwechselwirkenden korrelierten Anderson-Modells untersucht, bei dem die Löschdynamik durch eine abrupte Änderung der Stärke von Störungskorrelationen induziert wird. Das System zeigte einen anomalen dynamischen Phasenübergang, wenn ein anfänglicher reiner Grundzustand in einen stark korrelierten Störungsbereich übergeht. In diesem Grenzfall induzierten die Störungskorrelationen zu kritischen Zeiten spitzenartige Singularitäten im Loschmidt-Echo, die durch analytische Berechnungen im Grenzfall der Thermodynamik bestätigt wurden. Mit anderen Worten: Die Überlappung zwischen der ebenen Welle und ihrem zeitlich entwickelten delokalisierten Zustand wies periodisch mit kritischen Zeiten eine Reihe von Nullen auf, was die anomalen DQPTs widerspiegelt. Darüber hinaus zeigte das System ein universelles Größenskalierungsverhalten bei starken Störungskorrelationen. Im Gegensatz dazu zerfällt das Loschmidt-Echo monoton für das Postquench-Potential mit weißem Rauschen (zeitlich entwickelter lokalisierter Zustand). Darüber hinaus stellte sich heraus, dass das Loschmidt-Echo für das Anderson-ähnliche Potential größenabhängig ist.

Die Dynamik zwischen den Prequench-Random- und Postquench-Rein-Hamiltonoperatoren wurde ebenfalls untersucht. Es wird darauf hingewiesen, dass die Loschmidt-Echos vor einer endlichen Zeit monoton zerfallen und dann mit der Zeit einen oszillierenden Zerfall durchlaufen, von einem anfänglichen lokalisierten Zustand (Anderson-ähnliche Störung) in einen zeitlich weiterentwickelten erweiterten Bereich (null Potenzial vor Ort). Das Loschmidt-Echo nimmt quantitativ mit zunehmenden Störungskorrelationen und Annäherung an die Einheit in der unendlichen Korrelationsgrenze zu. Der Zerfall des Loschmidt-Echos wurde jedoch verstärkt (unterdrückt), indem die Systemgröße für ein anfänglich lokalisiertes (delokalisiertes) Regime erhöht wurde. Infolgedessen wies das System die DQPTs für einen anfänglich lokalisierten Zustand mit einer Anderson-ähnlichen Störung im thermodynamischen Grenzwert auf. Dagegen erwiesen sich die Loschmidt-Echos als Eins für einen anfänglich delokalisierten Zustand \((\alpha _{i}>1)\) im thermodynamischen Limes. Darüber hinaus wird das Skalierungsverhalten des Loschmidt-Echos durch die Identifizierung korrelationsinduzierter Delokalisierungsphasenübergänge im korrelierten Anderson-Modell abgebildet.

Die während der aktuellen Studie verwendeten und/oder analysierten Datensätze sind auf begründete Anfrage beim entsprechenden Autor erhältlich.

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NAK und MJ danken für das Postdoktorandenstipendium, das von der Zhejiang Normal University unter den Zuschussnummern ZC304022980 bzw. ZC304022918 unterstützt wird. GX dankt der NSFC für die Unterstützung unter den Zuschussnummern 11835011 und 12174346.

Fachbereich Physik, Zhejiang Normal University, Jinhua, 321004, Volksrepublik China

Niaz Ali Khan, Pei Wang, Munsif Jan und Gao Xianlong

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NAK entwickelte den theoretischen Formalismus, führte die analytischen und numerischen Simulationen durch, verifiziert von MJ, PW und GX, NAK schrieb das Originalmanuskript, überprüfte es von PW und MJ, GX finanzierte und überwachte das Projekt. Alle Autoren diskutierten die Ergebnisse und trugen zum endgültigen Manuskript bei.

Korrespondenz mit Munsif Jan oder Gao Xianlong.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Khan, NA, Wang, P., Jan, M. et al. Anomale korrelationsinduzierte dynamische Phasenübergänge. Sci Rep 13, 9470 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-36564-9

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Eingegangen: 24. April 2023

Angenommen: 06. Juni 2023

Veröffentlicht: 10. Juni 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-36564-9

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